IV. Neeuklidovské geometrie a určování vzdáleností

Tak moc jsme si přivykli na Euklidovskou geometrii, že si ani neuvědomujeme, že často již zpočátku implicitně předpokládáme, že prostor je Euklidovský. Abychom mohli vůbec vzít v úvahu, že tomu může být i jinak, musíme něco vědět o neeuklidovských geometriích.

Eukleides tvořil svou geometrii na plochém listu papíru a představoval si, že list by se dal roztáhnout ve všech směrech do nekonečna. Možná by stačilo, aby Země byla trochu menší a lidé by hned dospěli k závěru, že neexistuje nekonečná rovina, že každá rovina se ohýbá a nakonec utvoří kouli. Naše představa o prostoru by byla tehdy pravděpodobně jiná.

Geometrie na povrchu koule vypadá jinak než geometrie v rovině. Přímky nejsou nekonečné, ale ohýbají se a nakonec tvoří kružnice. Můžeme zde konstruovat různé trojúhelníky nebo kružnice, ale součet úhlů trojúhelníku bude vždy větší než 180 stupňů a obvod kružnice bude vždy menší než 2πr. Rozdíl bude tím větší, čím větší bude obsah trojúhelníku nebo kruhu. Jestliže se ale omezíme na malou oblast na povrchu koule, pak rozdíly mezi geometrií sférickou a Euklidovskou budou nepatrné. Z praxe víme, že můžeme mít celkem dobrou mapu malé oblasti povrchu Země, čili považovat kousek povrchu koule za plochý.

Jestliže se bavíme o Zemi, je třeba si povšimnout rozdílu mezi neeukleidovskou geometrií na kouli a sférou popsanou jako zakřivená plocha vnořená do trojrozměrného Euklidovského prostoru.

V Eukleidovském prostoru můžeme zavést místo kartézských souřadnic souřadnice sférické a dále budeme v Euklidovském prostoru, který je nezakřivený. Jednoduchým způsobem můžeme měnit sférické souřadnice na kartézské a naopak. Sférické souřadnice používáme v astronomii, kde rozmístění objektů popisujeme pomocí úhlů a vzdáleností vypočtených na základě pozorované jasnosti objektů při použití několika dalších předpokladů. Jestliže je prostor Eukleidovský, můžeme úhly změřené ve stupních lehce převést na radiány a vypočíst například průměr galaxie, jestliže známe její vzdálenost a změříme úhel pod jakým ji vidíme. Naproti tomu jestliže je prostor zakřivený, průměr galaxie může být jiný, než vychází z těchto výpočtů. V případě, že by byl prostor sférický, skutečný průměr galaxie by musel být menší.

Můžeme pozorovat něco, co by svědčilo o tom, že je prostor sférický? Můžeme. Pokud by prostor byl sférický, pak bychom vzdálené oblasti viděli roztažené a muselo by se nám například zdát, že vzdálené galaxie se obracejí příliš rychle vzhlem k jejich hmotnosti. A to je přesně to, co pozorujeme. Jenomže místo přijmout geometrickou interpretaci, že to může být potvrzení zakřivení prostoru, byla vymyšlena temná hmota …

Ještě musíme povědět alespoň pár slov o geometrii hyperbolické. Na rozdíl od Euklidovské geometrie, ve které bodem neležícím na přímce lze sestrojit právě jednu rovnoběžku, v hyperbolické geometrii je takových rovnoběžek nekonečně mnoho.

Další rozdíly jsou například takové, že součet úhlů v trojúhelníku je menší než 180 stupňů a obvod kružnice je větší než 2πr. Jako příklad hyperbolické plochy se často uvádí například sedlo.

Hyperbolická geometrie se může objevit i na kouli, jestliže poloměr koule bude imaginární číslo. (Imaginární číslo je takové komplexní číslo, jehož druhá mocnina má zápornou reálnou hodnotu). Komplexní čísla jsou potřebná při popisu některých jevů našeho světa a zdá se, že mohou být potřebná i při popisu geometrie vesmíru. K tomuto tématu se vrátíme v příští kapitole.

S ohledem na to, že jsme zvyklí na Euklidovskou geometrii, představujeme si zakřivené plochy ponořené v nezakřiveném prostoru vyššího rozměru. Snadněji si je tak můžeme představit i popsat. Ale tak tomu vůbec nemusí být. Zakřivení plochy nebo prostoru je určeno vzájemnými vzdálenostmi jejich bodů. V Euklidovském prostoru platí, že vzdálenost libovolných dvou bodů x a y se souřadnicemi x=(x1,x2,…,xn), y=(y1,y2,…,yn) je určena vzorcem

,

Jestliže je tomu jinak, pak prostor není Euklidovský. Různých možností je mnoho, s některými se ještě setkáme.

Vzorec vypadá dost komplikovaně, v podstatě znamená asi tolik, že v Euklidovském prostoru platí Pythagorova věta (zobecněná na více dimenzí). Jestliže se omezíme na trojrozměrný prostor s osami x, y, z a jeden bod umístíme do začátku souřadnic, pak vzorec na výpočet vzdálenosti dostane tvar

,

kde x, y i z představují příslušné souřadnice vzdáleného bodu. Takový zápis je jednodušší a přehlednější. V případě potřeby se můžeme kdykoliv vrátit k obecnější formě zápisu.

Vzhledem k tomu, že v našich úvahách budeme potřebovat nejen reálná čísla, ale také čísla komplexní, která se denně nepoužívají, může být užitečné si něco o nich povědět.

V. Několik úvah o komplexních číslech