V. Několik úvah o komplexních číslech
Kdo nezná komplexní čísla, může být překvapen, že něco takového vůbec existuje. Jak může být druhá mocnina nějakého čísla záporná, když přece druhá mocnina libovolného reálného čísla musí být nezáporná. No a o to právě jde, že v rámci reálných čísel neexistují druhé odmocniny ze záporných čísel a občas jsou potřebné.
Proč vůbec lidé potřebují čísla? Kdysi dávno se obešli i bez nich. Můžeme předpokládat, že nejdříve byla potřebná malá přirozená čísla, aby bylo možné spočítat členy skupiny nebo kusy zvířat. Během času se lidé naučili sčítat. Sečtením dvou přirozených čísel dostaneme zase přirozené číslo, jenom trochu větší. Horní hranice používaných čísel se zvětšovala souběžně s tím, jak se zvětšovalo množství lidí ve skupině a množství používaných předmětů a chovaných zvířat. Později se lidé naučili odčítat. Dlouhou dobu se ale odčítala pouze menší čísla od větších. Zdálo se nemožné, aby něčeho mohlo být záporné množství. Teprve když se ve společnosti objevily půjčky, lidé pochopili, jak užitečná mohou být záporná čísla.
Zároveň tu vidíme, že interpretace čísel a výpočtů není vůbec tak jednoznačná a evidentní, jak si někdy myslíme. Trvalo to stovky let, než se lidé naučili běžně používat záporná čísla. S komplexními čísly to bude trvat možná ještě déle …
Přirozená čísla spolu s jejich zápornými protějšky a nulou dávají celá čísla. V rámci celých čísel můžeme libovolně sčítat a odčítat a výsledek bude vždy celé číslo. V rámci celých čísel můžeme také násobit. Násobení se ukázalo užitečné například při výpočtu plochy ve tvaru obdélníka. Jenomže časem bylo třeba též něco dělit na části a tu již celá čísla nestačí. Potřebné byly zlomky. Tím jsme se dostali k číslům racionálním, to znamená číslům, která se dají zapsat ve tvaru podílu dvou celých čísel (kde druhé číslo není nula).
Překvapením byl objev, že existují čísla iracionální. Ukázalo se, že jsou často potřebná například při výpočtu délky úhlopříčky čtverce. Obecněji při výpočtu odmocnin. Racionální čísla spolu s čísly iracionálními dávají reálná čísla, která v geometrické interpretaci tvoří přímku, tak zvanou číselnou osu. Jestliže na přímce vybereme jeden bod odpovídající nule a jiný bod odpovídající jedničce, pak každému reálnému číslu můžeme jednoznačně přiřadit jeden bod na přímce a naopak, každému bodu na přímce odpovídá jedno reálné číslo. Zůstal jenom jeden problém. V rámci reálných čísel neexistují odmocniny všech čísel. Vzhledem k tomu, že žádná druhá mocnina reálného čísla nemůže být záporná, nemůže v rámci reálných čísel existovat druhá odmocnina ze záporného čísla. Jestliže ji z nějakého důvodu potřebujeme vypočítat, výsledek nemůže být reálné číslo. Bylo nutné vymyslet něco nového a tím se ukázala komplexní čísela.
Komplexní čísla získáme z reálných čísel tím způsobem, že k reálnému číslu, které tvoří reálnou část komplexního čísla, dodáme imaginární část. Imaginární část můžeme chápat jako další rozměr ve směru imaginární jednotky označené písmenem i. Jestliže reálná čísla si představujeme jako vodorovnou číselnou osu a imaginární čísla jako svislou osu, pak komplexní čísla utvoří komplexní rovinu, ve které komplexní číslo a+bi bude reprezentované bodem v rovině o souřadnicích (a,b).
Vidíme, že všechna čísla, o kterých jsme dosud mluvili, v geometrické interpretaci jsou svázána s geometrií Euklidovskou. To znamená, že i všechny výpočty pomocí těchto čísel v sobě obsahují implicitní předpoklad nezakřiveného prostoru. Zdá se, že pro kosmologické výpočty by se hodil matemetický aparát, který by v geometrické interpretaci odpovídal geometrii neeuklidovské…